РЕОЛОГИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СЫПУЧИХ СРЕД

ПРИ СВОБОДНОМ СКОЛЬЖЕНИИ

Ершков С.В.

_______________________________________________

В настоящей работе приводится исследование динамики скольжения слоя сыпучих (гранулированных) материалов, на примере лавинообразного соскальзывания верхнего слоя песка по поверхности песчаного массива ( без хаотического перемешивания ), в поле силы тяжести.

В конце работы полученные результаты применяются к исследованию процесса схода лавины с поверхности горного склона. На основании предложенной математической модели приводится оценка Времени схода лавины, её максимальной скорости движения полученные результаты вполне согласуются с экпериментальными данными .

Исследование позволяет присоединить данный раздел механики к разделам, исследованным ранее с точки зрения операционной автомодельности – нового подхода [1-2] к исследованию Временных (эволюционных) процессов [ 3-8 ] , предложенного автором.

_______________________________________________

Лавина с северной стены Дых-Тау (5204 м). Фото: Макс Панков (Москва)

Поскольку концепция операционной автомодельности [1] подразумевает независимость от масштабов в исследуемой модели, в [2] предложена следующяя схема условного разделения (представлений):

I. Микро-Мир :

Времени не существует, его роль (фактически) играет волновая функция состояния Y , полностью описывающая квантово-механическое состояние объекта исследования в заданной точке пространства. Изменение состояния отдельно взятой частицы описывается уравнением Шрёдингера. Факт приводимости уравнения Шрёдингера к уравнениям типа Риккати установлен в варианте операционной автомодельности в работе [3].

II. Мезо-Мир :

Время многолико, схема его моделирования зависит от рассматриваемого процесса, параметризуется через энтропию и/или через динамические инварианты протекающего процесса.

При этом факт приводимости к уравнениям типа Риккати основных уравнений механики, а именно:

- уравнений динамики жидкости и газа (уравнений Навье-Стокса) [4] ,
- уравнений электро-магнитной динамики Максвелла [5] ,
- уравнений Эйлера вращения твёрдого тела [6] ,
- а также уравнений тран c порта тепла [7] и популяционной динамики [8] был установлен в варианте операционной автомодельности, без ограничений общности.

Учитывая приведенные выше примеры, нам остаётся показать факт приводимости к уравнениям типа Риккати основных уравнений нелинейной динамики – реологии – твёрдых тел переменной массы ( гранулированных, сыпучих материалов ), что и было сделано в данной работе.

III . Макро-Мир :

Современные представления об эволюции Вселенной восходят к простейшей космологической модели Эйнштейна-Фридмана, оперирующей с трехмерным неэвклидовым пространством переменного во времени радиуса кривизны R(t) . Указанное пространство предполагается в этой модели однородным и изотропным, а время выступает в качестве формального параметра. Факт приводимости уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнениям типа Риккати установлен в варианте операционной автомодельности в работе [2].

Итак, в работах [1-8] были детально исследованы основные эволюционные уравнения динамики, механики ( в т.ч., квантовой механики ) и популяционной динамики с точки зрения операционной автомодельности [1-2], а именно:

- Система уравнений Эйнштейна-Фридмана, описывающая простейшую космологическую модель эволюции Вселенной,
- Система полных уравнений Навье-Стокса для случая осесимметричных закрученных течений вязкого сжимаемого газа,
- Система уравнений электро-магнитной динамики Максвелла,
- Волновое уравнение (на примере квантово-механического уравнения Шрёдингера),
- Система уравнений Эйлера вращения твёрдого тела,
- Уравнение тран c порта тепла (уравнение диффузии),
- Модифицированное логистическое уравнение (с учётом фактора сопротивления среды) .

Проведенное исследование позволило сделать вывод о топологическом подобии рассмотренных эволюционных моделей (уравнений): их решения подобны друг другу и решениям уравнений типа Риккати [9].

Учитывая приведенную выше схему условного разбиения эволюционных процессов на классы ( по масштабам области их протекания ), рассмотрим ниже эволюционную модель реологии гранулированных, сыпучих материалов – для того чтобы убедиться в глобальном топологическом подобии моделей эволюционных процессов в различных областях механики ( в т.ч., квантовой механики ), динамики ( в т.ч., элктро-магнитной динамики ), физики твёрдых тел, космологии и популяционной динамики ( роста численности популяций в биологии и математической социологии ).

_______________________________________________

Рассмотрим с качественной точки зрения кинематику процесса приведения в движение из состояния покоя, собственно свободного движения в поле силы тяжести, и последующей остановки ( торможения ) слоя лавинообразной массы сыпучих материалов она состоит из трёх основных этапов:

1. Преодолевается необходимый барьер, т.н. предел текучести ( для неподвижно лежащего массива сыпучих материалов этот параметр определяется углом наклона a поверхности массива по отношению к горизонтальной плоскости ), и верхний, очень тонкий слой песка начинает “течь”, или - ссыпаться вниз по склону . Тем самым реализуется начальный этап пластической деформации: причина начала движения, а именно - касательное напряжение, превысевшее предел текучести, перестает действовать, но деформация остаётся .

При этом зависимость предела текучести s от среднего размера зерна ( песчинки ) d может быть определена при помощи следующей полуэмпирической формулы:

- где 1/2 ≤ η ≤ 1 , коэффициент k является положительной величиной, а формула ( 1.1 ) в целом предсказывает повышение предела текучести ( угла предельного наклона песчаной горки a ) с увеличением размера зерна d . Для песка очень мелкой фракции ( например, в небольших песочных часах d : 1 мкм ÷ 3 мкм ) предельный угол наклона равен примерно 50 ° . Для не очень крупного морского гравия ( d : 100 мкм ÷ 2,5 мм ) этот показатель составляет примерно 53÷ 54 ° .

2. Далее вступает в силу этап вязкой деформации, и для описания последующей динамики скольжения этого слоя песка мы можем воспользоваться законом вязкого трения Ньютона:

- где σ - касательное напряжение в движущемся слое, Δ - деформация, возникающая в результате воздействия σ кроме того, здесь μ - динамическая вязкость ( коэффициент пропорциональности между напряжением и скоростью вызванной этим напряжением деформации ).

На этом этапе движения подразумевается что напряжение, совершающее работу по остановке лавинообразной массы на расстоянии d ( Δ finish + Δ ) , равно касательному вязкому напряжению в движущемся слое σ ( 1.2 ) на протяжении всего этапа торможения. Также подразумевается что кинетическая энергия движущегося слоя, накопленная на этапе свободного скольжения ( 1.2 ) , полностью переходит в теплоту посредством работы ( удельной ) силы σ при остановке ( торможении ) скользящего слоя песка.

Дифференцируя обе части последнего выражения по t , получим

Выражение ( 1.3 ) определяет линейную зависимость составляющих тензора касательного напряжения s от тензора ускорений деформаций D finish + D в движущемся слое при его торможении. Это – уравнение вынужденных колебаний, разновидность уравнений типа Риккати с постоянными коэффициентами [9].

Кроме того, из соотношений ( 1.2 ) и ( 1.4 ) мы можем сделать следующий вывод:

_______________________________________________

Например, для соскальзывающей снежной лавины - по поверхности горного массива, покрытого снегом - может быть получена следующая оценка времени, требующегося для полной остановки лавины, и её максимальной скорости движения ( в данном случае, ε - длина пробега лавины по поверхности горного массива h - высота горного массива σO = ρ - H - g - cos a , где ρ - плотность снега, H – толщина верхнего слоя снега, H ≈ 0,5 ÷ 0,7 м d = H + dO , dO - средний размер кристаллов подстилающего ( нижнего ) слоя снега, dO ≈ 9 мм = 9*10 ˉ³ м k = 0 ):

- при этом нужно учитывать что скорость снежной лавины всё время непрерывно нарастает ( линейно, в соответствии с ( 1.6 ) ), от самого старта и вплоть до полной остановки.

Возьмём следующие параметры:

Тогда получим:

Итак, мы получили следующий результат: скорость схода снежной лавины всё время непрерывно нарастает - линейно, в соответствии с ( 1.6 ) – но, при этом, её максимальная скорость составляет ( при высоте склона 1000 м ) ~ 18,8 м/сек = 67,7 км/час . При высоте склона 2000 м эта цифра составит ~ 95,7 км/час . При этом время схода лавины с высоты 1000 метров не превышает 2 мин .

В приведённых выше расчётах не учитывался момент “скачков” лавины ( фрагменты “свободного полёта”, когда лавина не испытывает сопротивления движению, и её скорость значительно возрастает ).

Лавина с северных склонов пика Победы левее классического маршрут через вершину Важа Пшавела. Фото предоставил: Владимир Копылов (Москва).

Список использованной литературы:

• Ершков С.В. Топологические аспекты динамического подобия в моделировании Времени // Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Ершков С.В. Параметрическая коррекция представлений о характере эволюционных преобразований // Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Ершков С.В. Уравнение Шрёдингера // Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Ершков С. В., Щенников В. В. Об автомодельных решениях системы полных уравнений Навье-Стокса для случая осесимметричных закрученных течений вязкого сжимаемого газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. № 7. С. 1117 – 1124.

• Быркин А.П., Ершков С.В., Щенников В.В. Конически автомодельные решения уравнений Максвелла с кручением электро-магнитного поля // Материалы 3-его совещания по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро-космических приложениях. М.: Институт высоких температур РАН. Апрель 2001. С.377–380.

• Ершков С.В. Концепция операционной автомодельности в приложении к модели твёрдого тела // Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Ершков С.В. Операционная автомодельность: уравнение теплопроводности // Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Ершков С.В. Фактор сопротивления среды в моделях эволюционной динамики //Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (опубликовано на сайте семинара по темпорологии: http://www.chronos.msu.ru ).

• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Наука. 1971.

Следы песчанных лавинок на склонах дюн. Остров Сокотра, Индийский океан, Йемен. Фото: Mountain.RU.

Следы песчанных лавинок на склонах дюн. Крупным планом (высота склона - 30-40 м).